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18世纪的数学家们知道他们的微积分概念是不清楚的，证明也不充分，但他们却自信他们的结果是正确的。为什么会是这样呢？部分答案是，有许多结果为观测和经验所证实，其中最突出的是天文学的预言，如哈雷彗星的再度出现。另一个原因是，那是的数学家确信，上帝数学化地设计了世界，而他们正在发展和揭示这种设计。可以说，这种信仰支撑着他们的精神和勇气，而丰硕的科学成果则养育着他们的心智，成为他们追求的精神食粮。

在微积分的发展过程中，一方面是成果丰硕，另一方面是基础的不稳固，出现了越来越多的谬论和悖论。数学的发展又遇到了深刻的令人不安的危机。由微积分的基础所引发的危机在数学史上称为第二次数学危机。

虽然在牛顿和莱布尼茨创立微积分之后的大约一百年中，很少注意到从逻辑上加强这门学科的基础，但并不是对薄弱的基础没人批评。一些数学家进行过长期的争论，并且，两位创立者本人对此学科的基本概念也不满意。对有缺陷的基础最强有力的批评来自一位非数学家，这就是著名的唯心主义哲学家贝克莱主教。他坚持：微积分的发展包含了偷换假设的逻辑错误。我们以考察牛顿对现在称作求导数所用的方法，来弄明白这个特殊的批判。