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人类数学史上出现过三次“危机”，这实际上是数学发展中三次伟大的突破，都是人们认识领域中的变革性发展，都是人们头脑中数学认识结构的转换。第一次数学危机使数系扩展了，万物皆数的整数算术观念被动摇了，世界上竟存在着不能用整数表示的、不可通约的非比实数，被认为是“异物”的东西，成了新体系中合理的“存在物”。第二次数学危机是方法论的领域扩大了，确立了一种崭新的“分析方法”。“分析”的结果与“运算”或“证明”的结果有着同等程度的确定性。第二次数学危机先后沿续一百多年，无非是为“分析”结果的确定性寻找基础，寻求证明和建立“分析”的步骤程序。这在数学发展史上被称之为“分析中注入严密性”。第三次数学危机是人的认知领域扩展到无穷，扩大了人们的思维方式，通过对一系列悖论的研究，确立了关于无穷运算的规则。

本文将详细论述第二次数学危机并谈谈其所带来的影响及启示。

大家知道，在公元前5世纪出现了数学基础的第一次灾难性危机，这就是无理数的诞生。这次危机的产生和解决大大地推动了数学的发展。